Klasická symplektická geometrie je po mnoho let základním nástrojem pro matematický popis klasické mechaniky. Umožňuje přeformulovat řešení Hamiltonových pohybových rovnic jako geometrický problém hledání toků jistých vektorových polí. Při studiu fyzikálních problémů tak lze s výhodou využívat rozličné metody diferenciální geometrie.
S příchodem supersymetrických polních teorií obsahujících více fermionů se objevila nutnost geometrické formulace obsahující antikomutující proměnné. Toho nelze dosáhnout v rámci klasické teorie hladkých variet. Řešením je geometrie supervariet (a jejich zobecnění na gradované variety). Gradovaná symplektická geometrie je přímočarým zobecněním standardní teorie. Podrobnější pohled však ukazuje, že i v nejjednodušších případech dostáváme pozoruhodné matematické struktury.
Úkolem studenta bude seznámit se se základy diferenciální geometrie nutnými k porozumění definici gradované variety. Hlavním cílem bude prostudovat základní vlastnosti gradovaných symplektických variet, případně je v nejjednodušších případech (stupně 0, 1 a 2) porovnat se známými objekty klasické geometrie (Lieovy a Courantovy algebroidy).
[1] M. Fecko: Diferenciálná geometria a Lieovy grupy pre fyzikov, Iris, 2004.
[2] A. Cattaneo, F. Schätz: Introduction to supergometry, Rev. Math. Phys. 23(06) pp.669-690, 2011 (arXiv:1011.3401).
[3] D. Roytenberg: On the structure of graded symplectic supermanifolds and Courant algebroids, 2002 (arXiv:math/0203110).