Tématem práce bude studovat ekvilibraci komplexních kvantových systémů řízených kvantovými Markovovskými procesy. V obecném formalismu Markovovských procesů tento problém zahrnuje nalezení vhodných analytických nástrojů pro zkoumání jejich asymptotické dynamiky, nalezení algebraických vlastností atraktorů evoluce a jejich vztah k integrálům pohybu. To dále otevírá možnost analyzovat obecnou strukturu asymptotických stavů, formulování podmínek, za nichž daný systém či jeho podsystémy ekvilibrují, testovat platnost Jaynesova principu maximální entropie či studovat vzájemnou synchronizaci podsystémů. Zkoumají se jak diskrétní tak spojité Markovovské procesy. V konkrétních aplikacích se pak zaměřujeme především na obecnější diskrétní dynamiku kvantových sítí s náhodnou interakcí. Zde studujeme volně se vyvíjející systém mnoha quditů náhodně přerušovaný krátkými vzájemnými dvoučásticovými interakcemi (kolizemi). Zajímá nás vzájemné působení volné dynamiky a interakce na výslednou asymptotiku a ekvilibraci kvantové sítě i jejich podsystémů. Mezi další problémy patří osvětlení role délky interakčních časů, interakčního grafu a pravděpodobnostního rozdělení možných kolizí při formování asymptotické dynamiky kvantové sítě.

[1] Ch. Gogolin, J. Eisert: Equilibration, thermalization, and the emergence of statistical mechanics in closed quantum systems, Reports on Progress in Physics 79, Number 5 (2016). 
[2] J. Millen, A. Xuereb: Perspective on quantum thermodynamcis, New J. Phys 18, 011002 (2016). 
[3] J. Novotný, G. Alber, I. Jex: Asymptotic properties of quantum Markov chains, J. Phys. A: Math. Theor. 45, 485301 (2012). 
[4] J. Novotný, G. Alber, I. Jex: Asymptotic Dynamics of Qubit Networks under Randomly Applied Controlled Unitary Transformations, New J. Phys 13, 053052 (2011).

Kvantové procházky popisují šíření kvantové částice na grafu nebo mřížce. Na rozdíl od klasické náhodné procházky, kde je pohyb částice náhodný, se kvantová procházka vyvíjí v koherentní superpozici možných stavů. Kvantové procházky našli široké uplatnění v kvantové teorii informace, zejména ve vyhledávacích algoritmech a v protokolech pro dokonalý přenos kvantového stavu. Dále se uplatňují v kvantových simulacích, např. při popisu koherentního přenosu excitací a simulování topologických fází ve fyzice pevných látek. Cílem práce je zkoumat využití kvantových procházek pro dokonalý přenos stavu a simulaci přenosu excitace na různých typech grafů. Důraz bude kladen zejména na určení efektivity a rychlosti přenosu v závislosti na typu grafu, počátečních podmínkách a dynamiky kvantové procházky. Dále se bude zkoumat vliv interakce s okolím, dekoherence a perkolace.

1. Reitzner, D. Nagaj, V. Bužek, Quantum walks, Acta Physica Slovaca 61, 603-725 (2011)
2. Kendon, Decoherence in quantum walks - a review, Math. Struct. in Comp. Sci 17, 1169-1220 (2006)
3. Kollár, T. Kiss, J. Novotný, I. Jex, Asymptotic dynamics of coined quantum walks on percolation graphs, Phys. Rev. Lett. 108, 230505 (2012)
4. Štefaňák, J. Novotný, I. Jex, Percolation assisted excitation transport in discrete-time quantum walks, New J. Phys. 18, 023040 (2016).

Kvantové procházky popisují šíření kvantové částice na grafu nebo mřížce. Na rozdíl od klasické náhodné procházky, kde je pohyb částice náhodný, se kvantová procházka vyvíjí v koherentní superpozici možných stavů. Cílem práce bude zkoumat asymptotické vlastnosti kvantových procházek s jednou i více částicemi. Důraz bude kladen zejména na určení tvaru limitního pravděpodobnostního rozdělení v závislosti na dynamice kvantové procházky a počátečních podmínkách. Dále se bude zkoumat vliv interakce s okolím, dekoherence, statického nebo dynamického šumu a perkolace. V případě procházek s více částicemi se zaměříme rovněž na roli bosonové a fermionové statistiky a interakce mezi částicemi.

• D. Reitzner, D. Nagaj, V. Bužek, Quantum walks, Acta Physica Slovaca 61, 603-725 (2011)
• A. Ahlbrecht, V.B. Scholz, and A.H. Werner, Disordered quantum walks in one lattice dimension, J. Math. Phys. 52, 102201 (2011)
• B. Kollár, T. Kiss, J. Novotný, I. Jex, Asymptotic dynamics of coined quantum walks on percolation graphs, Phys. Rev. Lett. 108, 230505 (2012)

Základní algebraická struktura – C* algebra kvantových operátorů – bude zkoumána z hlediska jemných gradací indukovaných *-automorfismy algebry. Bude popsána jejich klasifikace a v případě Pauliho gradací budou studovány vlastnosti algebraické komplementarity, grupy symetrie gradací a jejich vztah ke Cliffordovým grupám v kvantové informaci. Dále bude studována kvantová mechanika na konečných fázových prostorech metodou Weylových-Wignerových transformací a reprezentací symetrií gradací s cílem zobecnit techniku kvantové tomografie.

• M. Havlíček, J. Patera, E. Pelantová, On Lie gradings II, Lin. Alg. Appl. 277 (1998), 97-125
• D. Petz, Complementarity in quantum systems, Rep. Math. Phys. 59 (2007), 209-224
• M. Korbelář, J. Tolar, Symmetries of the finite Heisenberg group for multipartite systems, J. Phys. A: Math. Theor.  45  (2012), 285305   
• D. Gottesman, Theory of fault-tolerant quantum computation  Phys. Rev. A 57 (1998), 127-137
• M. A. Nielsen, L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, (Cambridge: Cambridge University Press 2000)
• G. B. Folland, Harmonic Analysis on Phase Space (Princeton, NJ: Princeton University Press 1989)

Spintronika je obor fyziky kondenzovaných látek zabývající se transportními jevy, při kterých hraje důležitou roli spin elektronu a využitím těchto jevů v mikro- a opto-elektronických součástkách. V minulosti se spintronika studovala hlavně ve ferromagnetických materiálech, nicméně v nedávné době se pozornost zaměřila také na materiály s antiferromagnetickým nebo jiným nekonvenčním magnetickým uspořádáním. Takové materiály by mohly v budoucnu vylepšit fungováni spintronických součástek nebo umožnit nové funkcionality. Vlastnosti materiálů s nekonvenčním magnetickým uspořádáním jsou ale mnohem méně prozkoumané než vlastnosti ferromagnetických materiálů. Předmětem této práce je teoretické studium spintronických jevů v materiálech s nekonvenčním, zejména antiferromagnetickým, magnetickým uspořádáním. Práce bude zahrnovat výpočty vlastností různých materiálů pomocí Density functional theory a výpočty transportních vlastností, založené převážně na různých metodách teorie lineární odezvy. Práce bude také zahrnovat vývoj nových počítačových programů. Hlavním cílem práce je pochopit vzájemné interakce mezi elektrickými proudy a magnetickými uspořádáními, a to zejména v kontextu využití elektrických proudů pro detekci a manipulaci magnetického uspořádání.

[1] C. Chappert, A. Fert, and F. N. Van Dau, Nature Materials 6, 813 EP - (2007)
[2] J. Železný, H. Gao, K. Výborný et al., Phys. Rev. Lett. 113, 157201 (2014)
[3] P. Wadley, B. Howells, J. Železný et al., Science 351, 587–590 (2016)
[4] T. Jungwirth, J. Sinova, A. Manchon et al., Nature Physics 14, 200–203 (2018)

Námětem práce je vyšetření spektrálních vlastností řetězových kvantových grafů vystavených působení homogenního magnetického pole a jejich změn v důsledku lokálních a globálních poruch. V literatuře byly vyšetřovány lokální geometrické poruchy nemagnetických řetězových grafů [2], jakož i poruch magnetických grafů spojené se změnami vazbových konstant [3] a lokálních variací magnetického pole [4]. Cílem navrhované práce je

(a) zformulovat problém a sestavit přehled existujících výsledků
(b) vyšetřit spektrální změny plynoucí z lokální změny délek žeber při zachování symetrie
(c) vyšetřit spektrální změny plynoucí z `ohnutí' takového grafu
(d) vyšetřit spektrum v případě, že vazba ve vrcholech grafu není invariantní vůči časové inversi

Nepředpokládají se žádné speciální znalosti, pouze obeznámenost se základními matematickými metodami kvantové mechaniky [1].

[1] J. Blank, P. Exner, M. Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, Karolinum, Praha 1993.
[2] P. Duclos, P. Exner, O. Turek: On the spectrum of a bent chain graph, J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008), 415206
[3] P. Exner, S.S. Manko: Spectra of magnetic chain graphs: coupling constant perturbations, J. Phys. A: Math. Theor. 48 (2015), 125302
[4] P. Exner, S.S. Manko: Spectral properties of magnetic chain graphs, submitted, Ann. H. Poincaré (2017), to appear; arXiv:1507.00608

Námětem práce je vyšetření spektrálních vlastností Hamiltoniánu nabité kvantové částice umístěné ve dvojié vrstvě, jejíž části jsou svázány oknem ve společné hranici. O tomto problému je mnohé známo [2], [3, Secs. 1.5, 4.4, 6.4]. Nedávno se objevila analýza Aharonov-Bohmova jevu v těchto systémech [4]. Cílem práce je vyšetřit jiné magnetické poruchy, konkrétně

(a) zformulovat problém a sestavit přehled existujících výsledků
(b) vyšetřit závislost diskrétního spektra na homogenním magnetickém poli uvnitř kruhového okna
(c) vyšetřit spektrální problém pro globálně homogenní magnetické pole a kruhové okno
(d) vyšetřit spektrální problém pro homogenní magnetické pole a okno tvaru mezikruží

Nepředpokládají se žádné speciální znalosti, pouze obeznámenost se základními matematickými metodami kvantové mechaniky [1].

[1] J. Blank, P. Exner, M. Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, Karolinum, Praha 1993.
[2] P. Exner, P. Šeba, M. Tater, D. Vaněk: Bound states and scattering in quantum waveguides coupled laterally through a boundary window, J. Math. Phys. 37(1996), 4867-4887.
[3] P. Exner, H. Kovařík: Quantum Waveguides, Springer, Heidelber 2015
[4] H. Najar, M. Raissi: A quantum waveguide with Aharonov-Bohm magnetic field, Math. Meth. Appl. Sci. 39 (2016), 92-103.

Takzvané měkké kvantové grafy se užívají jako modely nanostruktur. Popisují částici vystavenou přitažlivé interakci, jejímž nosičem je graf, nadplocha nebo složitější komplex Σ v prostoru Rⁿ; zhruba řečeno, taková částice se zápornou energií se může pohybovat jedině v blízkosti množiny Σ. Výhodou tohoto modelu ve srovnání s obvyklými kvantovými grafy je, že bere v úvahu kvantové tunelování mezi různými částmi Σ.

Vázané stavy hamiltoniánu měkkého grafu, který lze formálně napsat jako -Δ-αδ(x-Σ) lze získat řešením stacionární Schrödingerovy rovnice, tj. −Δψ = Eψ s odpovídající hraniční podmínkou na nadploše Σ. O vlastních hodnotách energie E je poměrně dost známo [1], cílem předkládané práce je prozkoumat jim odpovídající vlastní funkce ψ: Rⁿ → R, konkrétně jejich nodální množiny 

N(ψ) := {x∈Rⁿ : ψ(x) = 0}.

Ačkoli popsat takovou množinu přesně se daří jen ve výjimečných případech, pomocí analytických metod nevyžadující hluboké předběžné znalosti je možné najít obecné vlastnosti těchto množin. Lze očekávat, že N(ψ) dělí Rⁿ do konečně mnoha oblastí, v nichž každé je vlnová funkce nenulová, a že jejich počet splňuje Courantovu nerovnost [2], tj. nepřesahuje pořadové číslo dané vlastní funkce. Tento výsledek ve stávající literatuře chybí a prvním úkolem projektu bude vypracovat jeho důkaz zobecněním klasického Courantova argumentu. Pokračováním pak bude charakterizace nodálních množin, u nichž zmíněná nerovnost přechází v rovnost, pokusíme se také charakterizovat geometrické vlastnosti nodálních množin a klasifikovat vázané stavy pro některé zajímavé tvary nadploch Σ.

1. P. Exner and H. Kovařík, Quantum waveguides, Theoretical and Mathematical Physics, Springer, Cham, 2015.
2. R. Courant, Ein allgemeiner Satz zur Theorie der Eigenfunktionen selbstadjungierter Differentialausdrücke, Gött. Nachr. (1923), 81–84.
3. B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, and S. Terracini, Nodal domains and spectral minimal
   partitions, Ann. Inst. Henri Poincaré, Anal. Non Linéaire 26 (2009), 101–138.
4. A. Pleijel, Remarks on Courant’s nodal line theorem, Commun. Pure Appl. Math. 9 (1956),
   543–550.