Matematická analýza a lineární algebra

Okruhy otázek ke státním závěrečným zkouškám bakalářského studia

Obor: Matematická fyzika

Předmět: Matematická analýza a lineární algebra

Předměty vztahující se k okruhům:

  • 01MA1-2 Matematická analýza 1-2
  • 01MAA3-4 Matematická analýza A 3-4
  • 01LA1-2P Lineární algebra 1-2
  • 01FKO Funkce komplexní proměnné
  • 01DIFR Diferenciální rovnice

 

  1. Diferenciální počet reálné proměnné - derivace, její aplikace pro vyšetřování funkce, věty o přírůstku funkce.

  2. Riemannův integrál v R, definice, postačující podmínky existence, Newtonova formule, substituce, per partes, věty o střední hodnotě.

  3. č íselné řady, kritéria konvergence, přerovnávání řad, součin řad.

  4. Mocninné řady, vlastnosti součtu mocninné řady, Taylorův polynom, Taylorova řada, rozvoje základních funkcí do Taylorovy řady.

  5. (Totální) derivace zobrazení z Rn do Rm. Parciální derivace a gradient funkce více proměnných. Vztah mezi derivací a parciální derivací. Věty o přírůstku funkce.

  6. Nutná a postačující podmínka extrému funkce více proměnných. Hledání (volných) extrémů. Nutná a postačující podmínka vázaného extrému funkce více proměnných. Hledání vázaných extrémů.

  7. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
    y(n) + p1(x)y(n−1) + · · · + pn(x)y = f(x) v intervalu I

    a) řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu bez pravé strany, fundamentální systém b) řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s pravou stranou, metoda variace konstant

  8. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu
    y′ = A(x)y+b(x) v intervalu I

    1. a)  řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu bez pravé strany, fundamentální systém

    2. b)  řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s pravou stranou, metoda variace konstant

  9. Abstraktní Lebesgueův integrál. Jednotlivé kroky konstrukce integrálu od jednoduchých funkcí po funkce komplexní. Tonelliho-Fubiniho věta. Věta o substituci pro Lebesgueův integrál v Rn.

  10. Postačující podmínky garantující záměnu Lebesgueova integrálu a řady. Věty o záměně limity a integrálu a záměně derivace a integrálu (pro funkci závislou na parametru).

  11. Derivace funkce podle komplexní proměnné, holomorfní funkce a Cauchyovy-Riemannovy rovnice, křivkový integrál v C, index bodu vzhledem ke křivce, Goursatova věta a Cauchyův vzorec pro konvexní množiny, analytické funkce a jejich vztah k holomorfním funkcím.

  12. Kořeny a izolované singularity holomorfních funkcí, typy singularit, Laurentovy řady a jejich konvergence, věta o rozvoji holomorfní funkce do Laurentovy řady, Laurentova řada holomorfní funkce na okolí izolované singularity, Liouvilleova věta.

  13. Křivkový integrál v C (zavedení), index bodu vzhledem ke křivce (definice), Cauchyova věta a Cauchyův vzorec (obecná formulace), homotopie a Cauchyova věta, reziduum holomorfní funkce v izolované singularitě (definice), reziduová věta.

14. Lineární zobrazení a jeho matice, soustavy lineárních algebraických rovnic, Frobeniova věta.

  1. Hermitovské a kvadratické formy, polární báze, zákon setrvačnosti, matice kvadratické formy, kritéria pro určování charakteru formy.

  2. Skalární součin a norma, ortogonalita, nerovnosti, ortogonální doplněk.

  3. Determinant matice a determinant operátoru.

  4. Vlastní čísla a diagonalizovatelnost matic a operátorů.

  5. Rieszova věta, sdružený operátor. Normální, hermitovský a unitární operátor.