Matematická analýza a lineární algebra

1. Diferenciální počet reálné proměnné - derivace, její aplikace pro vyšetřování funkce, věty o přírůstku funkce.

2. Riemannův integrál v R, definice, postačující podmínky existence, Newtonova formule, substituce, per partes, věty o střední hodnotě.

3. č íselné řady, kritéria konvergence, přerovnávání řad, součin řad.

4. Mocninné řady, vlastnosti součtu mocninné řady, Taylorův polynom, Taylorova řada, rozvoje základních funkcí do Taylorovy řady.

5. (Totální) derivace zobrazení z Rⁿ do R^m. Parciální derivace a gradient funkce více proměnných. Vztah mezi derivací a parciální derivací. Věty o přírůstku funkce.

6. Nutná a postačující podmínka extrému funkce více proměnných. Hledání (volných) extrémů. Nutná a postačující podmínka vázaného extrému funkce více proměnných. Hledání vázaných extrémů.

7. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
   y⁽ⁿ⁾ + p₁(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + p_n(x)y = f(x) v intervalu I

   a) řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu bez pravé strany, fundamentální systém b) řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s pravou stranou, metoda variace konstant

8. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu
   y′ = A(x)y+b(x) v intervalu I

   1. a)  řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu bez pravé strany, fundamentální systém

   2. b)  řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s pravou stranou, metoda variace konstant

9. Abstraktní Lebesgueův integrál. Jednotlivé kroky konstrukce integrálu od jednoduchých funkcí po funkce komplexní. Tonelliho-Fubiniho věta. Věta o substituci pro Lebesgueův integrál v Rⁿ.

10. Postačující podmínky garantující záměnu Lebesgueova integrálu a řady. Věty o záměně limity a integrálu a záměně derivace a integrálu (pro funkci závislou na parametru).

11. Derivace funkce podle komplexní proměnné, holomorfní funkce a Cauchyovy-Riemannovy rovnice, křivkový integrál v C, index bodu vzhledem ke křivce, Goursatova věta a Cauchyův vzorec pro konvexní množiny, analytické funkce a jejich vztah k holomorfním funkcím.

12. Kořeny a izolované singularity holomorfních funkcí, typy singularit, Laurentovy řady a jejich konvergence, věta o rozvoji holomorfní funkce do Laurentovy řady, Laurentova řada holomorfní funkce na okolí izolované singularity, Liouvilleova věta.

13. Křivkový integrál v C (zavedení), index bodu vzhledem ke křivce (definice), Cauchyova věta a Cauchyův vzorec (obecná formulace), homotopie a Cauchyova věta, reziduum holomorfní funkce v izolované singularitě (definice), reziduová věta.

14. Lineární zobrazení a jeho matice, soustavy lineárních algebraických rovnic, Frobeniova věta.

15. Hermitovské a kvadratické formy, polární báze, zákon setrvačnosti, matice kvadratické formy, kritéria pro určování charakteru formy.

16. Skalární součin a norma, ortogonalita, nerovnosti, ortogonální doplněk.

17. Determinant matice a determinant operátoru.

18. Vlastní čísla a diagonalizovatelnost matic a operátorů.

19. Rieszova věta, sdružený operátor. Normální, hermitovský a unitární operátor.