Témata prací

Kvadratické integrály pohybu a separace proměnných

Vedoucí práce / Supervisor: doc. Ing. Libor Šnobl, Ph.D.
Pracoviště / Workplace: KF FJFI
Kontakt / Contact: libor.snobl@fjfi.cvut.cz

Název anglicky / Title English: Quadratic Integrals of Motion and separation of variables

Osnova / Outline:
V článku Makarov et al. [1] byla pozorována souvislost mezi integrabilitou daného mechanického systému
v Liouvillově smyslu a aditivní separabilitou příslušné Hamilton-Jacobiho rovnice ve vhodném souřadném
systému za předpokladu, že integrály pohybu jsou nejvýše kvadratické polynomy ve složkách hybnosti.
Existence vice komutujících souborů integrálů pohybu pak byla propojena s multiseparabilitou, tj. se
separabilitou ve více souřadných systémech, což později stálo u začátku studia tzv. superintegrabilních
systémů, viz přehledový článek Miller et al. [2].

Úlohou navrhovaného tématu bakalářské práce je seznámit se s potřebnými pojmy z oblasti
superintegrability a využít výsledky nedávného článku [3] týkajícího se možné struktury členů nejvyššího
řádu v integrálech pohybu k alternativnímu detailnímu odvození základního výsledku článku [1] o vztahu
páru kvadratických integrálů pohybu a odpovídajícího ortogonálního systému souřadnic, v nichž se
separuje Hamilton-Jacobiho rovnice, a též vyplnit mezeru, která je přítomná v původním publikovaném
odvození.

Literatura / Reference:
[1] Makarov, A. A.; J. A. Smorodinsky, J. A.; Valiev, Kh.; Winternitz, P. A systematic search for
nonrelativistic systems with dynamical symmetries. Il Nuovo Cimento A 52 (1967), 1061–1084.
[2] Miller, W., Jr.; Post, S.; Winternitz, P. Classical and quantum superintegrability with applications. J.
Phys. A 46 (2013), 42, 423001, 97 pp.
[3] Marchesiello, A.; Šnobl, L. Pairs of commuting quadratic elements in the universal enveloping algebra
of Euclidean algebra and integrals of motion. J. Phys. A 55 (2022), 14, 145203, 20 pp.

Killingovy tenzory a integrály pohybu

Vedoucí práce / Supervisor: doc. Ing. Libor Šnobl, Ph.D.
Pracoviště / Workplace: KF FJFI
Kontakt / Contact: libor.snobl@fjfi.cvut.cz

Název anglicky / Title English: Killing tensors and integrals of motion

Osnova / Outline:
V geometrickém popisu mechanických systémů se symetriemi hrají důležitou roli Killingovy vektory a
Killingovy tenzory. Zatímco Killingovy vektory mají přímou interpretaci v podobě invariance systému vůči
určité grupě transformací a odpovídají integrálům pohybu vyjádřitelným jako lineární funkce hybností,
Killingovy tenzory souvisejí s integrály, které jsou polynomy vyšších řádů v hybnostech. Úkolem práce je
seznámit se definicí Killingových vektorů a Killingových tenzorů a využít je pro studium vlastností
integrabilních systémů na plochých i zakřivených prostorech.

Literatura / Reference:
1) Thompson, G. Killing tensors in spaces of constant curvature. J. Math. Phys. 27 (1986), no. 11,
2693–2699.
2) Tsamparlis, M.; Mitsopoulos, A. Quadratic first integrals of autonomous conservative dynamical
systems. J. Math. Phys. 61 (2020), no. 7, 072703, 37 pp.
3) Rajaratnam, K.; McLenaghan, R. G.; Valero, C. Orthogonal separation of the Hamilton-Jacobi equation
on spaces of constant curvature. SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 12 (2016), Paper
No. 117, 30 pp..

Polní formulace mnohočásticových náhodných procházek

Vedoucí práce / Supervisor: Ing. Václav Zatloukal, Ph.D.
Pracoviště / Workplace: KF FJFI, B120
Kontakt / Contact: Vaclav.Zatloukal@fjfi.cvut.cz

Název anglicky / Title English: Field Formulation of Many-Body Random Walks

Osnova / Outline:
Předmětem této práce je klasická náhodná procházka na obecném grafu (síti). Zatímco pro jednoho
chodce (částici) je tato úloha dobře prozkoumána, pro mnohočásticový systém, kde obecně hrají roli
vzájemné interakce, je problém podstatně složitější.
Polní formulace mnohočásticových náhodných procházek nabízí koncepční přístup, jenž umožňuje
systematicky a efektivně popsat mezičásticové interakce a z nich plynoucí celkové nelineární chování.
Jde v podstatě o (příslušným způsobem adaptovanou) metodu druhého kvantování - ta transformuje
kvantově-mechanický systém mnoha částic v kvantovou teorii pole. V tomto ohledu by měla být tato
práce přínosná nejen pro studium klasických náhodných procházek, ale i pro lepší a názornější
pochopení metod kvantové teorie pole.
Cílem tedy bude osvojit si základy teorie náhodných procházek na grafech, pochopit roli kreačních a
anihilačních operátorů v popisu mnohočásticových konfigurací a mezičásticových interakcí a následně se
seznámit i s dalšími koncepty teorie pole jako jsou korelační funkce či generující funkcionál. To vše by
mělo být ilustrováno na četných příkladech, propočítaných a vizualizovaných za pomoci samočinného
počítače.

Literatura / reference:
[1] J. R. Norris, Markov Chains, Cambridge Univ. Press (1997).
[2] H. Kleinert, Particles and Quantum Fields, Kluwer Academic Publ. (1999).

Termalizace kvantových systémů

Vedoucí práce / Supervisor: Ing. Jaroslav Novotný, Ph.D.
Pracoviště / Workplace: -
Kontakt / Contact: jaroslav.novotny@fjfi.cvut.cz

Název anglicky / Title English: Thermalization of quantum systems

Osnova / Outline:

Tématem práce bude studovat ekvilibraci komplexních kvantových systémů řízených kvantovými Markovovskými procesy. V obecném formalismu Markovovských procesů tento problém zahrnuje nalezení vhodných analytických nástrojů pro zkoumání jejich asymptotické dynamiky, nalezení algebraických vlastností atraktorů evoluce a jejich vztah k integrálům pohybu. To dále otevírá možnost analyzovat obecnou strukturu asymptotických stavů, formulování podmínek, za nichž daný systém či jeho podsystémy ekvilibrují, testovat platnost Jaynesova principu maximální entropie či studovat vzájemnou synchronizaci podsystémů. Zkoumají se jak diskrétní tak spojité Markovovské procesy. V konkrétních aplikacích se pak zaměřujeme především na obecnější diskrétní dynamiku kvantových sítí s náhodnou interakcí. Zde studujeme volně se vyvíjející systém mnoha quditů náhodně přerušovaný krátkými vzájemnými dvoučásticovými interakcemi (kolizemi). Zajímá nás vzájemné působení volné dynamiky a interakce na výslednou asymptotiku a ekvilibraci kvantové sítě i jejich podsystémů. Mezi další problémy patří osvětlení role délky interakčních časů, interakčního grafu a pravděpodobnostního rozdělení možných kolizí při formování asymptotické dynamiky kvantové sítě.

Literatura / reference:

[1] Ch. Gogolin, J. Eisert: Equilibration, thermalization, and the emergence of statistical mechanics in closed quantum systems, Reports on Progress in Physics 79, Number 5 (2016).
[2] J. Millen, A. Xuereb: Perspective on quantum thermodynamcis, New J. Phys 18, 011002 (2016).
[3] J. Novotný, G. Alber, I. Jex: Asymptotic properties of quantum Markov chains, J. Phys. A: Math. Theor. 45, 485301 (2012).
[4] J. Novotný, G. Alber, I. Jex: Asymptotic Dynamics of Qubit Networks under Randomly Applied Controlled Unitary Transformations, New J. Phys 13, 053052 (2011).

Kvantové procházky a jejich aplikace v kvantové teorie informace a kvantových simulacích

Vedoucí práce / Supervisor: Ing. Martin Štefaňák, PhD.
Pracoviště / Workplace: KF B-219
Kontakt / Contact: martin.stefanak@fjfi.cvut.cz

Název anglicky / Title English: Quantum walks and their applications in quantum information and quantum simulations

Osnova / Outline:

Kvantové procházky popisují šíření kvantové částice na grafu nebo mřížce. Na rozdíl od klasické náhodné procházky, kde je pohyb částice náhodný, se kvantová procházka vyvíjí v koherentní superpozici možných stavů. Kvantové procházky našli široké uplatnění v kvantové teorii informace, zejména ve vyhledávacích algoritmech a v protokolech pro dokonalý přenos kvantového stavu. Dále se uplatňují v kvantových simulacích, např. při popisu koherentního přenosu excitací a simulování topologických fází ve fyzice pevných látek. Cílem práce je zkoumat využití kvantových procházek pro dokonalý přenos stavu a simulaci přenosu excitace na různých typech grafů. Důraz bude kladen zejména na určení efektivity a rychlosti přenosu v závislosti na typu grafu, počátečních podmínkách a dynamiky kvantové procházky. Dále se bude zkoumat vliv interakce s okolím, dekoherence a perkolace.

Literatura / reference:

Reitzner, D. Nagaj, V. Bužek, Quantum walks, Acta Physica Slovaca 61, 603-725 (2011)
Kendon, Decoherence in quantum walks - a review, Math. Struct. in Comp. Sci 17, 1169-1220 (2006)
Kollár, T. Kiss, J. Novotný, I. Jex, Asymptotic dynamics of coined quantum walks on percolation graphs, Phys. Rev. Lett. 108, 230505 (2012)
Štefaňák, J. Novotný, I. Jex, Percolation assisted excitation transport in discrete-time quantum walks, New J. Phys. 18, 023040 (2016).